ریاضی

چكیده:

بخش بزرگی از فلسفه ای كه امروزه رواج دارد، نشأت گرفته ازآراء افرادی چون «وایتهد و راسل» است كه شالودة منطق ریاضی (جدید) را بنا نهادند.

در واقع، منطق ریاضی را باید ازمبانی ریاضیات جدیدوفلسفة تحلیلی به حساب آورد، كاری كه به دست برخی از فلاسفه دراین حوزه آغاز گردید، بطور عمده به اصول ریاضیات ورابطة ریاضیات ومنطق مربوط بود، اما نتایج چنان گسترده ای به بارآورد كه به تدریج درفلسفه تأثیر عمیق برجای گذاشت.

نگرش كلی بر پیشینة تاریخی منطق ریاضی وفراهم نمودن زمینه برای مباحث گسترده تر بعدی، از اهداف این مقاله است.

مقدمه:

ریاضیات، همواره شبهه ناپذیرترین، دقیق ترین و روشن ترین معرفت تلقی می شود. بدین جهت، بسیاری از فلاسفه در ریاضیات تحقیق كرده اند تا دریابند، ریاضیات واجد چه خصیصه ای است كه نتایج حاصل از آن اینچنین وثیق و مورد اعتماد است؟ و ایا چنین خصیصه ای را می توان برای كسب سایر اقسام معرفت نیز به كار برد و روشهای آن را در زمینه های دیگر هم بكار بست یا خیر؟

این گونه پژوهشها در مفاهیم، روشها، اسلوبها ومدلهای دخیل در ریاضیات و فلسفه را «فلسفة ریاضیات» نام نهاده اند.

در واقع، میل به تعمیق فهم ودرك از جهان وساختار آن، بستگی پایداری را بین فلسفه وعلوم ریاضی به وجود آورده است. اغلب فلاسفة بزرگ از ریاضیات یا علوم به فلسفه روی آورده اند. «افلاطون»[1] دستور داده بود، برسر در مدرسة او «آكادمیا» این جمله را نصب نمایند: « كسی كه هندسه نمیداند وارد نشود.»؛ برخی از بزرگترین فیلسوفان، مبدع شاخه های جدید ریاضی هستند مانند: دكارت،[2] لایپ نیتس[3] و پاسكال[4].

سه نحلة عمدة فلسفی كه امروزه در باب مبانی ریاضیات مطرح اند؛ هر یك در ادامة مباحث مهم ریاضی و توجه به روش ریاضی، به عرصة بروز وظهور رسیده اند والبته، هر كدام را باید متأثر از كاوشهای فلسفی پیشین در باب مبانی ریاضیات دانست.[5] روش ریاضی (روش استنتاجی محض) در نزد ریاضیدانان كنونی و فیلسوفان ریاضی از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است، تلاش اصلی در این نحله های فلسفی این است كه مبانی ریاضیات از نظر واقع گرایی و نزدیكی به واقعیت تبیین گردد.

یكی از این سه نحلة عمده، با عنوان «منطق گرایی» شالودة « منطق جدید» ویا «منطق ریاضی»[6] را بنا نهاد. كاری كه به دست این نحله آغاز گردید بطور عمده به اصول ریاضیات ورابطة ریاضیات و منطق مربوط بود، اما نتایج چنان دامنه داری پیدا كرد، كه رفته رفته در سراسر فلسفه تأثیر عمیق بر جای گذاشت.

منطق جدید، به اعتبارعنوانی كه اكنون پیدا كرده است، «منطق كلاسیك» وبه اعتبار تحلیل آن از استدلالهای ریاضی و بحث درباره نظامهای صوری، منطق ریاضی نامیده می‌شود و از مبانی ریاضیات جدید وفلسفه تحلیلی به حسا ب می اید.[7]

كشفیات جدید در منطق جدید از مباحث گوناگون منطق در جریان تاریخی پیچیده ای نشأت گرفته است. سیر تحول تاریخی آن را می توان با نگرش به دو جریان متفاوت در نظر گرفت. یكی از این دو تاریخ استنتاج صوری است كه با ارسطو واقلیدس شروع می شود. جریان دیگر تاریخ آنالیز ریاضی است كه آغاز آن به ارشمیدس باز می‌گردد. این دو جریان سالهای متمادی، تا حدود قرن هفدهم، به گونه ای ممتاز از یكدیگر تكامل یافتند. در این زمان با نیوتن[8] ولایپ نیتس و كشف حساب انتگرال ودیفرانسیل بوسیله آنها مواجه می شویم كه در نهایت ریاضیات ومنطق را با هم گره می زنند.

توسعة ریاضیات در این زمان و بویژه «حسابی شدن آنالیز»[9] موجب گردید كه مفاهیم مختلفی از ریاضیات را بتوان به مفاهیم ساده تری تجزیه نمود وآنها را به مدد مفاهیم ساده تر وبسیار عمومی تر تعریف كرد. همین امر، سبب التزام برخی به این باور گردید كه قضایای ریاضی به عنوان قضایای منطقی باید اثبات شوند و مفاهیم ریاضی باید بر پایة مفاهیم منطقی تعریف گردند.

لایپ نیتس

مبدع ومخترع منطق ریاضی و نحلة منطق گرایی لایپ نیتس بود. وی حقایق ریاضی و منطقی را مبتنی بر اصل عدم تناقض ~p (x)Λ ~ p(x)) ("xمی دانست. ونظام ریاضی ومنطقی رامبتنی براصل عدم تناقض فلسفی می دانست و براین باور بود كه كلیه قضایای ریاضی و از جمله علوم متعارفة آن را می توان به مدد تعریفات واصل عدم تناقض ثابت كرد. در واقع، ذهن در تهیه و تشكیل علم ریاضیات، به نحو تحلیل عمل می كند و فقط به تعاریف و اصل عدم تناقض احتیاج دارد وپس از آن تحلیل به عمل می آورد.[10]

از دیگر متفكران عرصه منطق ریاضی كه به نحوی در مسیر تكاملی آن نقش مؤثری داشته اند؛ می توان به جورج بول(م1864-1815)[11] اشاره كرد. وی كوشیده بود تا منطق را جبری كند و حساب مجموعه ها را تدوین نماید. وی منطق را دست نشاندة ریاضیات می دانست. ویلیام استنلی جونز[12] (م1882-1835) معتقدبود كه منطق علم بنیادین است. جان‌ون[13] (م1923-1834) درعین حال كه می كوشید تا اختلافهای نظام «بول» را برطرف و بر بی‌نظمی معاصردرعرصة نشانه پردازی نمادین غلبه كند، به منطق ریاضیات به چشم شاخه های جداگانة زبان نمادین نگاه می كرد و برآن بود كه هیچكدام دست نشاندة دیگری نیست. در آمریكا چ.س.پیرس، جبر منطقی بول را تعدیل وكامل تر كرد و نشان داد كه چگونه می تواند پذیرای روایت تجدیدنظر یافتة منطقِ نِسَب كه به همت اوگوستوس دمورگان[14] (م1817-1806) تدوین یافته بود، باشد. در آلمان فریدریش ویلهلم شرودر[15] (م1920-1841)تنسیق كلاسیكی به جبر منطقی بول كه به دست پیرس تعدیل یافته بود، داد.[16]

فرگه

«ددكیند»[17] و «فرگه»[18] نیز در تحلیل حقایق ریاضی به گزاره های منطقی بدیهی، تلاش زیادی كردند. فرگه كوشید كه درآثارش باعنوان «مبانی حساب »[19] و« قوانین بنیادی علم حساب»[20] ریاضیات را از جبر جداكند.

فرگه سعی داشت نشان دهد كه فرضهای اولیه ای كه ریاضیات برآنها استوار است همه از مقدماتی ترین اصول منطق قابل استنتاجند. براین اساس، هر قضیة ریاضی از مقدمات صرفاً منطقی به طریق قیاس قابل استنتاج است. شیوةكار وی دربردارندة دو اصل بود:

الف: تعریف مفاهیم حساب، صرفاً درچارچوب منطق

ب: نشان دادن اینكه حساب از مقدمات صرفاً منطقی قابل استنتاج است.[21]

علاوه بر این وی موفق شد نقیصه ای را كه منطق ارسطویی تا قرن نوزدهم با آن روبرو بود، برطرف سازد وآن كلیت تام نداشتن منطق ارسطویی بود. فرگه این نقیصه را مرتفع گرداند و به این وسیله موفق به بیان مقدماتی شدكه بیشتر علم حساب از آنها قابل استنتاج بود.[22]

تا پیش از فرگه، تصور می‌شد كه قوانین منطق، قوانین فكر و اندیشة آدمی است به این معنا كه با فرایندهای ذهن آدمی سروكاردارد.[23] فرگه تأكید داشت كه منطق یكسره عینی است و به هیچ وجه با فرایندهای روانی مرتبط نیست. مجموعه هایی كه اعداد را به آنها احاله می كنیم یا برمی‌گردانیم ذواتی به كلی عینی هستند و بدین جهت منطق، كاملاً مستقل از روانشناسی است و امكان ندارد كه صحت و اعتبار برهان (صدق اینكه چه چیز از چه چیز لازم می اید یا نمی اید) وابسته به امور امكانی در روان آدمی باشد. گزاره های منطق، حقایقی عینی هستند كه ذهن قادر به دریافت آنهاست، اما صحت و اعتبارشان به هیچ وجه به ویژگیهای تفكر بستگی ندارد.

پئانو[24]، نیز در همان جهت فرگه، منتها با دستگاهی با كارآمدی كمتر از دستگاه او كار می‌كرد. وی قضایای ریاضی را با علائم منطقی تبیین نمود. او به همراه همفكرانش در كتاب فرمولهای ریاضی[25] (1908-1895) نشان داد كه حساب و جبر می توانند از اندیشه های منطقی خاصی نظیر اندیشه های مربوط به مجموعه و عضویت یك مجموعه، سه مفهوم ابتدائی ریاضی وشش گزاره ابتدایی اشتقاق یابند. راسل و وایتهد، از طریق وی به اهمیت كارهای فرگه پی بردند. ایشان از نمادنگاری منطقی یا نشانه پردازی پئانو در تدوین كتاب «مبانی ریاضیات» كه كار پئانو و فرگه را تكامل بخشید، استفاده كردند.

راسل[26] و وایتهد[27]

منطق گرایی و اصول منطق ریاضی بطور عمده بر پایة نظرات راسل می باشد وی بر این عقیده است كه قضایای ریاضی، قابل تحویل به منطق است و قضایای ریاضی مبتنی بر مفاهیم منطقی است، به عبارت دیگر، ریاضیات قابل تبدیل به منطق است به این معنی كه ریاضیات خالص را می توان اصولاً از پاره ای مفاهیم منطقی بدوی و قضایای غیر قابل اثبات، استنتاج نمود، وی با ارائة اصل تحویل یا انحلال، تمامی ریاضیات را از یك مجموعه مبانی، كه می بایست منطقی خوانده شوند، استنتاج نمود[28]، بنابراین مطابق عقیده او، باید ریاضیات را از دل منطق بیرون آورد.

كتاب سه جلدی «پرینكیپیا ماتیما تیكا»[29] مبانی ریاضیات كه محصول كار مشترك راسل[30] و وایتهد در طول ده سال می‌باشد و در سالهای 1913-1910 منتشر گردید. آنها كوشیده اند تا نشان دهند كه ریاضیات محض قابل تبدیل به منطق است، به این معنی كه می توان ثابت كرد كه ریاضیات از مقدمات منطقی محض بر می‌اید و فقط مفاهیمی را به كار می برد كه قابل تعریف به زبان منطق اند. البته در عمل ما به سادگی نمی توانیم هر فرمول پیچیده ریاضی را بر داریم و بدون جد وجهد فراوان به زبان اصطلاحات محض منطقی بیان كنیم؛ ولی اصولاً كل ریاضیات محض، قابل اشتقاق از مقدمات منطقی است، به بیان راسل، ریاضیات بلوغ منطق است. راسل بر این عقیده بود كه رد قاطعی از نظریه های كانتی به دست داده است و حقیقت تز خویش را در كتاب مبانی ریاضیات مبرهن ساخته است.

آنچه توجه به آن ضروری است، این است كه بر خلاف خواست راسل، فرگه و وایتهد، نه تنها ریاضیات تابع منطق نشد؛ بلكه منطق بیشتر تابع ریاضیات شده است. و هر چه منطق ریاضی، رفته رفته ریاضی تر شده، ارتباطش با فلسفه كاسته شده است. علاوه بر این باید اعتراف كرد كه تز تحویل ریاضیات به منطق به هیچ وجه مقبولیت عام در بین ریاضیدانان نیافته است؛ گر چه هیچكس در این امر تردیدی ندارد كه تلاش راسل و همفكرانش در زمینه منطقی كردن ریاضیات و تكامل بخشیدن به منطق ریاضی، كاری عظیم بوده و باعث توسعه منطق ریاضی گردیده است؛ اما این سیستم در عرضه داشتن نظامی كامل و تمام، توفیق نیافته است و اشكالات فراوان متوجه این نظام می باشد.

پی نوشت:

[1] ( حدود 427 تا 347 ق.م) Platon          [2] (1596- 1650م) Descates        

[3] (1716- 1664م) Leipzig                [4] (م 1662- 1623) ‍Pascal

[5] این سه نحله عبارتند از:

الف)منطق گرایی (logicism)كه مبتنی بر نظریات «راسل» و «وایتهد» است.

ب)شهود گرایی (intutionism )كه بر پایه نظرات«براور» ریاضی دان معروف هلندی بنا گردیده است.

ج)صورت گرایی(formalism) كه مؤسس آن«هیلبرت» است.

این سه نحله بنحوی از آراء فلسفی «لایپ نیتس و كانت» متأثر بوده اند، منطق گرایی از لایپ نیتس آغاز شد و توسط فرگه و راسل دنبال شد. آراءفلسفی كانت نیز در بنای دو نحله دیگر مؤثر بوده اند. به عقیدة او اصول متعارف وقضایای ریاضی خود صرفاً اصولی منطقی نیستند؛ بلكه به اموری فرا منطقی نیازمندند، پس باید ازشهود كمك گرفت. وی حقایق ریاضی راپیشینی تركیبی ( thetic a priori)محسوب می دارد. هیلبرت با استفاده از تفكر كانت نحله صورت گرایی راپایه ریزی كرد و براور نیز از مبانی تفكر كانتی نحله شهودگرایی را پی افكند.

[6] Mathematical Logic

[7]موحد، ضیاء، درآمدی به منطق جدید، شركت انتشارات علمی وفرهنگی ، چاپ دوم، 1362، ص یك.

[8] (م1727-1642) Newton             [9] Arithmctization of Analysis

[10] در مقابل این نظر، كانت براین عقیده است كه ریاضیات یك علم تحلیلی محض نیست كه فقط معلوماتی دربارة مضامین، مفاهیم یا معانی الفاظ بدهد؛ بلكه معلومات پیشین دربارة متعلقات شهود خارجی می دهد اما این ممكن نیست مگر اینكه شهودات لازم برای ساختن ریاضیات همگی مبتنی برشهودات پیشین باشند، كه شرایط ضروری برای نفس امكان تعلقات شهود خارجی هستند. بنابراین هندسه علمی است كه خواص مكان را تركیبی ولی به نحوپیشبینی تعیین می‌كند واین امر همان قدر كه درمورد هندسه صادق است دربارة علم حساب هم صدق می كند. وی در این رای با افلاطون شریك است كه معرفت ریاضی دارای خاصیت پیشبینی است هر چند نحوه بیان او درباره آن با افلاطون فرق دارد. ر.ك: كاپلستون، فردریك، تاریخ فلسفه، ترجمه: اسماعیل سعادت، ومنوچهر بزرگمهر، شركت انتشارات علمی وفرهنگی وانتشارات سروش، تهران،1375، ج6، ص259و258.

[11] George Bool          [12] William Stanley Jevons              [13] John Venn

[14] Augustus Demorgan منطق و ریاضی دان انگلیسی و بانی كارهای اساسی در منطق جدید كه معروفترین آنها تسویر محمولات و قضیه دمورگان است.

[15] Friedrich Wilhelm Schroder         [16] همان، ترجمه بهاءالدین خرمشاهی، ج8 ، ص474.

[17] (م1885) Dedekind                            [18] (م1930- 1884) Frege

[19] Die Grundlagen der Arithmetik             [20] Grundgesteze de Arithmetik

See: Bryan Magee¸ The great philosophers¸ Oxford University Press¸ 1988¸ p.302 [21]

[22] بعدها «گودل1931» نشان داد كه این كار بطور كامل، شدنی نیست و استنتاج صوری حساب ممكن نیست، تكمیل شود در اوایل این قرن «هیلبرت» ریاضیدان معروف این مسأله را مطرح كرد: كدام دستگاه صوری است كه بتواند همه عبارتهای راست ریاضی و فقط آنها را به دست دهد. هدف از دستگاه صوری عبارت است از این كه بتوانیم همه چیزهایی را كه دربارة اعداد طبیعی راست هستند، ثابت كنیم. اما گودل نشان داد كه با هر دستگاه صوری قابل تصوری هم شروع كنیم این كار نمی تواند انجام پذیرد. وی ثابت كرده كه اگر دستگاهی صوری، كه آن را F می نامیم، شامل حساب باشد، آنگاه:

1)گزاره ای از F یا روشن تر بگوییم ازحساب وجود دارد كه راست است ولی اثبات پذیر نیست.

2)برای اثبات سازگاری F باید از دستگاه قوی تر استفاده كنیم.

ر.ك.ج.ن گراسلی، منطق ریاضی چیست؟ ترجمه شاپور اعتماد و غلامرضا برادران خسرو شاهی، چاپ كتیبه، چاپ اول، 1363، ص97و22و21.

[23] یكی از مهمترین كارهای او، حمله ای بود به كتابی در باب علم حساب، به قلم فیلسوف آلمانی«هوسرل» كه منطق را نظریه ای درباره قوه حكم یادآوری معرفی می كرد.

[24] Peano                     [25] Formulaires de Mathematiques

[26] (1970-1872) Russel                     [27] (1947-1861 ) Whitehead

1999¸ P.238[28] See: paul Tomassi ¸ Logic¸ First published¸ London and NewYork¸

[29] pricipia mathematica

[30] راسل، پیشتر در سال 1903 كتاب دیگری موسوم به اصول ریاضیات (the principles of Mathematics ) انتشار داده بود.